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对大多数人来说，数学以算术开始，以代数或微积分结束，但数学的范围比你想象的要大得多。
雪花的六重对称性是水分子对称性的直接结果，可以通过现代代数来研究。
对许多人来说，数学无非就是算术、几何、代数和微积分。即使是像工程这样的技术性较强的学科，也只会在列表中加入微分方程、偏微分方程、统计学，也许还有线性代数。而且，尽管这些数学子领域相当重要，但它们远远不是数学的所有。
数学课的主题
在开始之前，我想强调一条特别的线索，它几乎出现在所有的高等数学课上：证明。在非数学专业的数学和数学密集型课程中，你的大部分精力都花在学习：
如何为一个问题建立一个模型。
写出一些适合该模型的数学公式（通常是微分方程或线性方程组）。
然后按照一套特定的步骤来获得相关信息。
在更高层次的数学课上，你还必须证明一些东西，在这种情况下，你的大部分精力都花在学习：
如何为一个问题建立一个模型。
写出一些适合该模型的数学知识（通常是某种函数或算法）。
然后按照一系列特定的步骤来证明这个陈述。
你可能会注意到，这些步骤相当相似，这并不是巧合。虽然证明和计算密切相关，但人们往往更经常地与计算打交道，因此不熟悉证明中使用的技术。出于这个原因，许多大学要求数学学生上一门课，重点是如何写证明。大学将这门课称为高级数学入门。非数学专业的学生可能不会上这门课，我不会在本文中提到它，因为它本身不是目的，我想写一篇关于如何在数学中证明“东西”的文章，类似于我为基础物理学写的那篇文章。
迈出成为物理学大师的第一步，应该这样去求解物理学问题
下面是一个数学学生在微积分、微分方程和偏微分方程之外可能选修的不同科目的清单，这些科目包括什么，以及每个科目的实际用途。要明确的是，这并不意味着数学需要有直接的实际用途才值得学习。数学本身就很美，而数学发明可能需要几个世纪的时间才能变得不仅实用，而且必不可少，数论是现代密码学的基础，就是一个典型的例子。
离散数学
让我们从离散数学开始。微积分处理的是平滑、连续的函数，而离散数学则是一个广泛的领域，涉及任何可以被分离成离散对象的东西。所有计算机科学系学生和电气工程师都必须上这门课。在标准的课程中，会涉及形式逻辑、计数问题和图论（不是像f(x)=x^2这样的图，而是更像城市和道路的图，它们都是有向无环图）等主题。这门课往往是学生们必须证明的第一门课（也是最后一门）。
我们什么时候会用到离散数学？
正如我已经说过的，离散数学是电气工程和计算机科学的必修课。在电气工程中，控制一个电路的每个部分获得多少电流需要使用图论，而实现数字逻辑需要使用形式逻辑。计算机科学中的大量问题涉及到识别何时可以用图来模拟一个系统，然后使用图论中的一些东西来简化问题。例如，谷歌的网页排名算法将网页建模为节点，将链接建模为有向边，然后它可以使用图论来研究。
计数问题可能看起来没什么用，但它们在概率论和统计学中出现得很多。在统计力学中，熵将允许你把寻找一个系统的各种物理属性（如体积、能量、成分、热容量等）之间的关系的问题转换成一个计数问题，正如你可以在文章从零推导出理想气体定律，一项浩大的工程，涉及数理化三个领域中看到的那样。使用统计力学将热力学问题变成计数问题的最典型的例子必须是爱因斯坦模型。
爱因斯坦模型是晶体固体的模型，它包含了大量的相同频率的独立三维量子谐振子。在德拜模型中，独立性假设是松弛的。
实分析
我们已经介绍了离散数学，让我们来看看微积分的核心——实分析。在微积分发明后的几个世纪里，人们开始注意到，很多我们认为理所当然的关于微积分和实数的事情并不真实。例如，一个函数在任何地方都是连续的并不意味着它在任何地方都是光滑的。这些假设导致了一些证明，这些证明声称可以证明所有具有某种属性的函数（如所有连续函数）的定理，但只适用于部分函数（如所有利普希茨连续函数）。为了解决这些混乱的问题，人们想出了实分析。这是一个重要的领域，它为所有的微积分提供了论证。
弄清图片中湍流背后的数学原理，就能得一百万美元。
我们什么时候会用到实分析？
实分析在告诉你一个函数到底有多好，这对于确定你可以用什么技术来解决一个问题，以及这个问题是否可以解决是很有用的。作为一个典型的例子，纳维尔-斯托克斯方程构成了流体力学的基础，类似于麦克斯韦方程构成了电磁学的基础。
改变世界的方程之纳维尔－斯托克斯方程，堪称最难的物理学方程
麦克斯韦方程，19世纪最伟大的发现之一，现代物理学的基础支柱
与麦克斯韦方程不同，我们尚未证明纳维-斯托克斯方程在任何初始条件下都存在光滑解。证明或否定纳维-斯托克斯方程总是有光滑的解，是物理学中最大的未决问题之一。实分析和函数分析（建立在实分析的基础上）对于理解和解决这个问题是必要的。
对于那些不是数学物理学家的人来说，你可能不会从实分析中得到那么多。现实世界中的常见函数往往是“良好”的，所以你通常可以假设有人已经在背后做了实分析的工作。
复分析
黎曼zeta函数图
当人们（例如柯西）在研究实分析时，也在研究复分析，复分析将实函数扩展到复平面。实分析和复分析之间的一个重要区别是，复分析对它所处理的函数种类更加“挑剔”。
虽然这种挑剔性限制了复分析可以处理的函数，，但它可以对它可以处理的函数做更多的事情。例如，它允许你做一些在实线上很难做的积分。
我们什么时候会用到复分析？
复分析出现在许多你意想不到的地方。想知道素数的分布吗？你需要找出黎曼Zeta函数的零点。想找到一种方法来稳定一个不稳定的系统？你需要找到一些方法，将系统的传递函数的极点向左移动。像拉普拉斯变换、傅里叶变换、传递函数和z-变换这样的概念要依靠复分析来理解。
现代/抽象代数
这个领域研究符号和对符号的运算。在这个领域出现的一般问题是，如果你有一个物体，你对这个物体进行了一系列的操作，你能找到一些方法来 "撤销 "这些操作吗？你能解出一个给定的x方程式吗？你可能习惯于x是一个实数或复数，你有一些多项式方程，如x^2 - 2x + 5 = 0，但如果x和所有的乘法，加法，减法的结果都只能是0到10之间的数字呢？在这种情况下，你要处理的是11阶的有限域。特别值得注意的是阶为2的有限域，它是计算机的基础，因为你可以把加法变成排他性或门，把乘法变成和门。
我们什么时候会用到抽象代数？
现代代数有许多子领域（如群论、线性代数），并与其他领域（如代数拓扑学和代数数论）有交集，这使得有点难以单独谈论它。由于线性代数是一门独立的课程，我将在其章节中谈论它。
假设有人交给你一个分子，你想预测它的特性。你可以看几个特征，比如键的类型、组成原子的质量、自由电子的分布等等。这些特征之一是由分子显示的所有对称性组成。要研究它们需要抽象代数。
魔方不需要介绍。在电影《当幸福来敲门》中，解开魔方的能力是一种挑战，只有智力高超的人才能做到。在现实生活中，任何人都可以通过记住一些算法来复原魔方。但是，你会如何找到这些算法？第一步应该是想出一个数学模型。在这种情况下，如果你把每个旋转看作是一个运算，那么解魔方就相当于 "撤销 "旋转，这意味着你可以在这个问题上使用抽象代数的工具。
线性代数
我的电脑目前有以下配置：
CPU：AMD Ryzen 7 2700X
GPU：NVIDIA GeForce GTX 1660
内存：2 x Corsair Vengeance 16GB DDR4
固态硬盘：三星860 EVO 1TB
键盘：海盗船游戏K55 RGB键盘
鼠标：罗技G502鼠标
计算机的每个部分大多独立于计算机的其他部分。如果我想要更多的内存，我不需要买一台新的电脑，我只需要增加一个固态硬盘。同样，我可以用任何其他鼠标替换我的鼠标，或者用任何其他具有相同接口的CPU替换我的CPU。当一个系统由可以改变而不改变任何其他部分的部件组成时，我们称之为模块化系统。
计算机远不是唯一的模块化系统。自工业革命以来制造的大多数产品都是模块化的，因为处理大量简单的模块化事物比处理少量复杂的相互连接的事物要容易得多。这一认识导致了线性代数领域的出现。类似于复分析将其重点限制在某些种类的函数上，线性代数将其重点限制在代数结构上，，在这种结构中，将一个操作应用到一个对象上，就像将操作应用到它的各个部分上，并将结果相加。
如果你能证明一个系统或运算是线性的，问题就会变得容易得多，因为你可以把对象分解成它的各个部分，进行运算，然后把所有东西再加起来。
我们什么时候才会用到线性代数？
导数和积分是线性运算符，因此你可以使用线性代数的工具来分析它们。与其把7x^2 + 5x^4的导数塞进差分商中（求导），你分别对x^2和x^4求导，再分别乘以7和5，然后把它们加在一起，得到14 x + 20 x。不过，直到你遇到微分方程，线性代数的优势才变得明显。一旦你遇到偏微分方程，你将开始解决特征值方程，这与你在线性代数中看到的特征值方程几乎相同。在量子力学中，这些特征值具有特殊的意义：它们代表了你可以观察到的给定系统的可能值（表述做了很多简化）。在微分几何中，你最终要处理的是多线性映射（又称张量），它是你在线性代数中看到的线性映射的概括。最后，函数分析是实分析的延伸，可以认为是线性代数在函数空间的应用。
线性代数在统计学和概率学中也有大量的应用，最典型的例子是线性回归和期望值的线性化。线性代数也出现在分析马尔科夫模型中，这些系统根据其当前状态和一组概率在多个状态之间转换。例如，你可以使用马尔可夫模型来估计一个人在大富翁游戏中落在一个特定方格上的概率。
如果你对人工智能研究感兴趣，你会发现其中有大量的线性代数。寻找线性回归是现代人工智能算法的先驱，早在计算机出现之前就已经发明了。现代算法，如主成分分析，通过用线性代数找到的新变量来重写数据，并丢弃那些不能解释大量方差的变量。除此之外，隐马尔可夫模型依赖于马尔可夫模型，正如我之前所说，它依赖于线性代数。
我第一次学习化学时发现的一个应用是，可以通过把化学方程式写成线性方程组来配平。对我来说，这个过程减少了我必须记住的一系列步骤，只是 "写出方程组，并将其插入计算器"。如果我把线性代数的所有可能用途都写出来，这篇文章要花好几天才能读完，所以就到此为止。
微分几何学
微分几何学是研究光滑事物的几何学，包括曲线、曲面和流形。例如，是否有可能在不拉伸或压缩球体的任何部分的情况下将其压扁？如果是这样，那么我们就可以制作一张没有失真的地球平面图。高斯使用微分几何证明了任何地球地图都必然有扭曲。
我们什么时候会用到微分几何？
制图学很酷，这一领域在物理学上有特殊用途。爱因斯坦的一个假设指出，所有的惯性参考系都应该遵守相同的物理定律，这意味着我们需要一些一致的方式来描述坐标系的变化。微分几何学可以告诉你坐标系的变化对数学有什么影响。出于这个原因，物理定律必须用张量来表述，张量使用微分几何的规则来抽象出坐标系，同时保持相同的物理学。如果你听说过弯曲的时空，你就会用微分几何来研究这种曲率。如果你想做任何高层次的物理学，你应该对操作张量得心应手。
概率与统计
你一定听说过概率和统计。你们中的大多数人都能回答一些基本的概率问题。统计学可能比微积分更适用于一个人的日常生活。
我们什么时候会用到概率与统计？
从根本上说，科学不过是根据你所知道的东西进行预测，而在任何科学领域进行定量预测都需要数学。在许多科学领域，微积分和密切相关的微分方程领域构成了该领域的基础方程式。没有麦克斯韦方程，你根本不可能掌握电磁学。另一方面，科学需要实验，而对实验结果的正确解释需要统计分析。你怎么能知道你是否发现了希格斯玻色子，或者只是得到了一些看起来像希格斯玻色子的数据？
当然，概率和统计学并不仅仅用于解释和分析数据。在某些领域，概率和统计是基础。统计力学需要使用概率和统计学（以及微积分），但统计力学本身是许多科学领域的基础，包括热力学、固态力学、化学等。因此，这些依赖统计力学的领域必须依赖概率和统计学。量子力学指出，宇宙在基本层面上是概率性的，因此需要概率和统计学来理解。
它对于量化确定性、计算出一个合适的样本量、在扑克比赛中赢得很多钱、理解为什么你在赌场中可能会输钱等也很有用。
人工智能和机器学习只是高级概率和统计学。任何基于马尔科夫过程的东西从根本上说都是基于概率和统计的，这包括人工智能算法，如隐马尔科夫模型。甚至神经网络本质上也是非线性回归。
数值方法
方程对于观察一般趋势来说是很好的，但在几乎每个领域，你都需要插入数值来得到一个数字结果。在数值方法中，你将学习如何在尽可能短的时间内获得准确的结果。数值方法还可以根据你使用的任何数据来量化你所使用的任何数值方法的不稳定性，这可以帮助你选择合适的工具来完成工作。
我们什么时候会用到数值方法？
有很多问题，解析解要么不存在（解决次数大于4次的多项式），要么不方便计算（某些类型的微分方程），这就需要数值方法了。
牛顿法是解方程的标准算法。它还能做出一些看起来很酷的分形图。
欧拉方法是模拟由带初始条件的微分方程支配的系统的起点。
有限元分析将模拟一个由带有边界条件的微分方程控制的系统。它本身就是一个完整的领域。
有大量的积分方法（辛普森规则、高斯求积法等）具有不同的特性，可以快速计算任意积分。要知道对一个特定的函数可以使用哪些积分方法，需要进行实分析。
高斯消去法是解决线性方程组的大多数实用算法的基础。为特殊类型的系统寻找算法需要线性代数。
只要你需要能够快速计算，你就需要使用数值方法。例如，视频游戏特别需要实时近似物理，所以它们经常使用具有中等精度的快速方法，如半隐式欧拉法。
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