《数学的语言》这本书讲述了数学各个分支的发展历史，以及它们如何描述这个世界。
这本书的作者齐斯德福林，是美国斯坦福大学的教授，因为他在科普方面的造诣，曾获国际毕达哥拉斯奖和卡尔萨根科普奖。
第一部分：数学是什么和数学为什么那么牛？
德福林说：“数学是研究模式的科学。”数学家的所作所为就是研究抽象的模式——数值模式、形状模式、运动模式、行为模式、投票模式、重复机会模式，等等。数学是研究世间万物之规律的科学，它可以让看不见的东西看得见。
数学很牛，一方面是因为，数学是一门有用的、有趣的和有着悠久历史的科学。另一方面，数学的结论都是经过证明的，经得起考验。
说到证明，必须提到亚里士多德最有名的证明逻辑，那就是“大前提—小前提—结论”这种“三段论”式的推理模式。亚里士多德从最经典的“三段论”演绎出其他18种推理规则，只要前提正确，那么根据这些推理规则得到的结论都一定是正确的。
数学被称为是一门公理化科学，公理充当最原始的前提。公理是一组独立的、不需要证明就正确的命题。对公理的要求不在于它的真实性和客观性，而在于自洽性和实用性。欧几里得几何学就是建筑在5个公理基础之上。判断是不是数学的一个新模式，就看它的公理系统与已知的公理系统是不是等价。如果不等价，那它就是新的。
既然公理系统那么重要，在1900年的世界数学家大会上，德国数学界的领袖人物希尔伯特根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。其中之一就希望世界数学家一起，努力建立一个适用一切数学理论的统一的数学公理系统。后人将这个号召称为“希尔伯特纲领”。
然而，1931年，奥地利的年轻数学家库尔特哥德尔证明了一个奇怪的定理：对任意一个自洽的数学公理系统，一定有一个不能被证明的结论，换句话说，一定有一个命题是既不能被证明、也不能被否定的。
这个定理被称为哥德尔不完备定理，他给希尔伯特纲领带来了灭顶之灾，同时也给数学界带来了恐慌。很多数学家顿时萎靡不振，不断地质问自己：“这个问题会不会是不能证明的啊？”
1963年，美国年轻数学家保罗柯亨提出一种方法，这种方法又称力迫法，它要构造比谈论范围更大的一个偏序集合，探讨在这个更大的范围中考虑的问题是不是“可以证明的”，从而用来判别一个问题在现行的集合论公理系统下是不是不能求解的。保罗柯亨简直成了救世主，数学家纷纷用力迫法构造自己问题的扩域，来验证正在上下求索的问题到底能不能求解。
第二部分：数学的模式
首先要讲的是微积分。
17世纪后半叶，英国物理学家牛顿和德国数学家莱布尼兹，彼此独立地发明了微积分。微积分的基本概念是导数。
牛顿在研究运动中速度和加速度时提出了流数法，流动的流，数量的数，就是现在所谓的导数。
有一辆汽车在1点整路过了A点，问题是要求正好经过A点的速度，也就是汽车在一点钟时候的瞬时速度。由于速度无法直接测量，人们用路程除以时间获得速度，求得在这段时间内的平均速度。如果求平均速度的时间区间越短，就越接近于1点整的瞬时速度。牛顿称这个过程为极限，得到的数值为流数。
尽管牛顿与莱布尼兹引入导数的方法各有特色，但基本思想是一致的，导数就是分母和分子都趋于零时产生的数值。微积分是以函数为研究对象，而在此之前，数学的研究基本以数作为对象，因此德福林称微积分是一种新的模式。
第二个是关于几何的故事。
说起经典几何，有三部书必须要提到的，第一部便是古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，成书约在公元前350年。这本书被称为公理化数学的鼻祖，全书一上来就是23个定义，也称为公设。
接着欧几里得给出公理系统，一共只有5个，在证明中它们是最原始的前提。比如：两点之间可以作一条直线，它是唯一的；一条直线两端可以无限地延伸；给定一个点和一个半径可以作一个圆，这个圆是唯一的。根据亚里士多德的推理规则，欧几里得利用以上5条公理，推理得出465个结论。
第二部书是古希腊数学家阿波罗尼斯写的《锥线论》，共8卷，成书于公元前200多年。阿波罗尼斯第一个将椭圆、抛物线和双曲线统一地称为圆锥曲线。这本书几乎覆盖了我们今天知道的圆锥曲线的性质。
第三部书是法国数学家笛卡尔在1637年出版的《方法论》，这部书讲的是解析几何。
解析几何的最大贡献是沟通了形和数，从欧几里得的无度量几何到笛卡尔的度量化几何，数字进军到几何中，研究形状的工具一下子强大了几百倍。很多悬而未决的难题得到了解决。
数学的第三个主题是群论。
对称是一种自然的美。天安门城楼左右对称；道家的太极双鱼图给人和谐的感觉，以圆心为中心旋转180度，两边图形重合。我们将这些形象的对称现象升华为数学，就可以表现更丰富的内容。
画一个等边三角形，三个顶点分别是A,B,C，用O表示它的中心。以中心为顶点将三角形旋转120度或者240度，尽管顶点A,B,C的位置变动了，但等边三角形还在那个位置；以三条高为轴，沿轴翻转180度，顶点的位置也变了，形状还是不变的，而且和初始的三角形位置重合。在上述5种变换下，尽管顶点的字母会变化，但是等边三角形的位置与形状不变。另外，在数学上，保持原状不动也是一种变换，叫做恒等变换。上面提到的5种变换，再加上恒等变换，这6种变换让等边三角形保持不变，我们就称等边三角形是这6个变换的不变量。一个正六边形有6根对称轴和6种使它不变的旋转，因此它是具有12个元素的变换群的不变量。
有了群的这点基础，我们就可以进入这一章的主题了——伽罗瓦群。
伽罗瓦理论做的第一件事情是扩域。所有的有理数组成一个域，因为有理数可以做加减乘除四种算术运算；所有的实数也组成一个域，因为也可以做加减乘除四种算术运算；但是所有的整数不能构成域，因为两个整数相除不一定是整数。在所有无限个元素数组成的数域中，有理数域是最小的。如果在有理数域上加一个2
第四个主题来讲讲拓扑学。
我们都看过地铁图，使用起来十分方便，这种图只指示沿线的站点和换乘站，不能显示两个站之间的距离，就是说它只表示通不通，不表示近不近，人们称之为地铁拓扑图。据说这种地铁图是英国人在1932年发明的，首先用在伦敦地铁上，当年工作人员穿上印有地铁图的T恤，在站台上和车厢中给乘客指路。
我们将T恤拉拉扯扯叫做拓扑变换，地铁图在拉扯下依然具有指路的功能，称为拓扑不变性。拓扑学研究的主题之一就是在拓扑变换下，哪些性质是不变的。
拓扑变换是指连续的、光滑的、可逆的变化。例如将T恤的一个面顶起，或者抓住T恤的两个袖口朝两边拉，只要不顶破或撕裂布面，都是拓扑变换。
我们将拓扑学的研究对象称为几何对象，一个几何对象通过拓扑变换能变成另一个，那么称这两个对象是拓扑等价的。
靠实验来判别两个对象是否拓扑等价是困难的，“不变量”的概念应运而生。所谓不变量，就是在拓扑变换下不会改变的量。找出不变量，计算两个几何对象的不变量数值，如果相同就可以断定它们是拓扑等价的，不相同就不等价。经过数学家研究，拓扑不变量只有3个，任何两个对象只要这三个量相同，就一定是拓扑等价的。这三个量分别是边的数目、可定向性和欧拉示数性。
第5个主题要讲概率了。
掷一颗骰子有6种不同的结果，就是说掷骰子的结果是不确定的。但我们知道，出现2点的概率是1/6。掷骰子能不能出现2点是个不确定事件，但是它的概率却是一个确定的数。将不确定现象用确定的数描述出来，数学就大有作为了。
现代概率论起源于数学家帕斯卡和费马的一次讨论。他俩当时在研究这样一个问题：“如果俩人在玩一种5局3胜制的游戏，游戏规定只有胜负没有平局，胜者拿走全部1000元赌注。但是玩了3局，由于不可抗拒的原因使得游戏不能进行下去了，应该怎样分配这1000元赌注最合理？”
假设帕斯卡和费马两人进行了3局比赛，因为没有平局，也没有分出胜负，那一定是2胜1负。不妨认为费马赢了两局，帕斯卡赢了一局。剩下还有两局比赛，这两局比赛的结果有4种可能性。有3种情况是费马胜出的，那么整场比赛下来，费马胜出的可能性是3/4，帕斯卡胜出的可能性只有1/4。
之所以说，帕斯卡和费马的研究是现代概率论的起源，是因为他们分析了未发生的、而且结果不确定的情形。
第三部分：用数学的语言读懂宇宙
17世纪初，德国天文学家开普勒提出行星运行的三大定律，它们完全刻画了行星运动规律，因而开普勒被尊称为宇宙的立法者。开普勒原是一位虔诚的地心说拥护者，为了驳倒哥白尼的日心说，他被教廷派去帮天文学家第谷整理观测数据。在整理过程中他发现，如果采用地心说，那么太阳运行的计算结果与第谷的观测结果总相差8分。他尝试采用日心说进行计算，这8分的差值消失了。然后他又用日心说演算了其他行星，得到的结果都与第谷的观测值相符。开普勒果断地抛弃了地心说，开始了以太阳为中心的宇宙规律研究，最后提出了三大定律。可以说，开普勒是历史上第一个用数学来导出自然规律的人。
伽利略第一个提出：物体下落的距离与它的重量无关，这个距离与下落的时间平方成正比。德福林说：“伽利略的思路完全是数学上的发明。”他的结论是对现实的一种理想抽象。
牛顿给出了一个公式，用他的话来说就是：“一物体所受合力为其质量与加速度的乘积。”然后应用他的反流数法，严格导出：自由下落物体落下的距离等于二分之一的重力加速度与下落的时间平方的乘积。牛顿还提出了万有引力定律，这些发明与伽利略一样，完全处于数学的想象中。
迄今为止，物理世界中将数学应用到极致的科学家那一定是爱因斯坦。爱因斯坦在1905年发表的《论动体的电动力学》中提出了狭义相对论。这篇文章的出发点是洛仑兹变换群。爱因斯坦根据他对洛仑兹变换方程的推导预言了时间膨胀、长度收缩、质量与能量关系等等的可能性，这些在当时都是不可想象的。
1905年，爱因斯坦又发表了一篇论文，探讨在狭义相对论中重力和加速度会对光线会产生什么影响，他尝试用黎曼几何描述引力，人们普遍认为这是广义相对论的开端。十年后，爱因斯坦建出了引力场方程，完成了广义相对论的动力学体系。数学不仅是他研究的工具，也是爱因斯坦描述科学发现的语言。爱因斯坦的预言不断地被之后的实验所证实。
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