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二次函数是属于初等函数——幂函数的模块。
幂函数中需要我们掌握的解析式类型：y=x、y=x^2、y=x^3、y=1/x、y=√x.
而二次函数中是这些类型中比较重要的一块知识点，也是高考常考的内容。
所以二次函数的图像和性质更需要我们掌握。
一般式：f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)；
顶点式：f(x)=a(x+b/2a)^2+(4ac－b^2)/4a（a≠0），[－b/2a,(4ac－b^2)/4a]为二次函数图像的顶点坐标；
交点式：f(x)=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1,x2是二次函数图像与x轴交点的横坐标。
三者之间的关系：
一般式f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)通过配方法得到顶点式。
即f(x)=ax^2+bx+c
=a(x^2+bx/a)+c
=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2－b^2/4a^2)+c
=a(x+b/2a)^2－b^2/4a+c
=a(x+b/2a)^2+(4ac－b^2)/4a
一般式和交点式x1，x2的关系：x1+x2=－b/a，x1x2=c/a。
顶点式和交式的关系：x1<－b/2a 二次函数的图像： 二次函数的基本性质： 研究一个函数的基本性质就是要从函数图像、定义域、值域、单调性、奇偶性等，二次函数也不例外，也要从这几个方向取研究二次函数。 第一，看二次项系数的符号，它确定二次函数的开口方向； 第二，看对称轴和最值，它确定二次函数图像的具体位置； 第三，看函数图像的一些特殊点，如函数图像与y轴的交点、与x轴的交点，函数图像的最高点或最低点等。 例题如图二： 这道题就是根据上述的已知点判断该二次函数开口的朝向。 因为不等式f(x)<0的解集是｛x|x<－3或x>1｝，则有该二次函数的开口是朝下的，且与x轴的交点为(－3,0)和(1,0)。 这里要注意：y=f(－x)的意义。 y=f(－x)就是将原来的二次函数的图像关于y轴对称所得到的图像。 所以根据上述二次函数图像的三个要点得出该函数f(x)的图像，然后再将函数f(x)的图像关于y轴对称得到函数y=f(－x)的图像。 具体做法如图： 根据图三所知，正确答案选B。 这是二次函数常见的其中一个类型题。 设f(x)=ax^2+bx+c(a>0)，则二次函数f(x)在闭区间[m,n]上的最大值、最小值有如下的分布情况，如图四： 类型题： 若函数f(x)=x^2+bx+c在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（） A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 这道题只给出来一个区间 上存在最大值和最小值，但是上述二次函数性质的哪种情况我们并不知道。 这个时候这三中情况就都要考虑到，即最大值可能是f(0)也可能是f(1)，但是不会是f(－b/2a)。 最小值可能是f(0)，也可能是f(1)，也可能是f(－b/2a)。 所以M－m就可能是f(0)－f(1)、f(1)－f(0)、f(1)－f(－b/2a)、f(0)－f(－b/2a)。 因为f(0)=b，f(1)=1+a+b，f(－b/2a)=b－a^2/4，则结果可能为－a－b、a+b、1+a－a^2/4、a^2/4。 所以M－m与a有关，与b无关，所以正确选项为B。 这个类型题是常考的内容，主要考察二次函数在不同区间的最大值和最小值有着不同的情况。 还需要灵活运用，一般遇到这样的类型题时都应该分布说明这三种情况。 但是无法分布说明的且要求一定范围的时候，直接可以根据f(m)、f(n)可能是最大值，而f(－b/2a)一定是最小值的结论。 注意：当二次函数开口向下的时候，最大值的可能性为两个端点函数值，也可能是对称轴对应的函数值，但是最小值只可能为两个端点的函数值。 当二次函数开口向下时，也是上述三种情况，一般也都要分布说明。 二次函数解析式的三种形式，很多同学在初中就已经掌握，但是要注意这三者之间的联系和变换。 函数的基本性质大多同学都能掌握，但是要注意的是二次函数什么时候是偶函数，什么时候是非奇非偶函数。 再一个就是从函数图像上能得知的三个要点以及二次函数求最值时的三种情况，一般都要分布讨论来说明。 相关文章： 直线与三次函数有三个不同交点，联立方程吗？太麻烦，这有方法！ 高考必考内容干货，函数基本知识点穿线大全，仔细阅读绝对是飞跃 抽象函数的对称性在解不等式中的妙用，原来它还有这功能，真惊奇 高中数学，含对数的不等式，多变量到唯一变量的转化，只需知这些 高中数学，四边形巧转三角形——这点不可少，椭圆这点你可能不知 #二次函数专题# 想了解更多精彩内容，快来关注玉w头说教育
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